Mon mari pense être dépressif

Bonjour
Voilà nous sommes marié depuis 5mois et nous avons une petite fille de 9 mois.
Nous sommes en couple depuis 4 ans.

Mon mari est quelqu'un de très sensible, réveur, tête en l'air, aimant et responsable.
Maintenant il se repose entièrement sur moi tout le temps, j'ai la sensation de soutenir tout le foyer toute seule et ça me fatigue peu à peu.
Par conséquent quand je lui demande de penser à faire ou acheter quelque chose et qu'il oubli (systématiquement) ça m'énerve de plus en plus.
En fait je poste ce message suite à notre "dispute de trop" hier soir.
Notre fille est malade et j'ai peur qu'elle fasse une bronchiolite, donc je lui ai demander de l'emmener chez le médecin hier aprem (il ne travaille pas les aprem)  et de me tenir au courant. Vers 17h je tente de le joindre sans succès et ce pendant 1h30. Quand il répond enfin, je lui demande comment s'est passé le rdv chez le médecin, là il me répond "oh ben j'ai oublié d'y aller"..........................Comment peut on oublier d'emmener sa fille de 9 mois malade (qui tousse tout le temps) chez le médecin ?????? Je n'arrive pas à comprendre ! Du coup je me suis énervé (fortement) et en rentrant je lui ai dit que c'était trop qu'il était temps qu'il se prenne par la main parce que j'arrive au bout de mes capacités. Tous les jours je dois l'appeler au moins 3 fois pour lui rappeler d'acheter ci, de chercher ça etc.
Ce n'est qu'un exemple.
On en arrive au réel problème qui me fait venir vers vous.
après cette "dispute"/"conversation" d'hier soir où il n'a pas parlé, pas réagi, ne m'a regardé que quand je lui demandais il est parti de coucher et m'a écrit une lettre (que j'ai trouvé ce matin)  où il dit qu'il a des "démons" en lui, "des idées de conneries", qu'il a "honte de me dire ça car je supporte déjà bcp de choses", qu'il ne se "sent pas à sa place au boulot dans la société", il se sent " en arrière plan" il ajoute à la fin "je técris cette lettre et je me dis que ce n'est pas sérieux. dans ma tête  je vois une image de toi disant : pff il est encore déprimé comme il est encore malade ou bien il a encore changé d'avis ou il a encore oublié...je suis tout ça car quelque chose ne va pas chez moi"

Alors ce n'est pas la première fois qu'il me dit qu'il est "depressif" je l'ai toujours encourager à aller voir un professionnel mais il n'a jamais fais la démarche et je voudrais que cela vienne de lui car j'ai le sentiment que si je le force ça ne marchera pas, il faut que ça vienne de lui !

Après j'essai de ne pas m'inquiéter face aux "j'ai des idées de conneries" car je me dis au fond de moi que s'il me voit inquiète il va donner de l'importance et du crédit à ce qu'il ressent et du coup il risque de se sentir réellement malade et de se conforter dedans, ........alors je n'ai peut être pas la bonne attitude mais le problème est que j'ai déjà tout essayer...je suis maintenant démunie et malheureusement lassée, je ne sais même pas comment réagir face à cette lettre.
comment puis je faire pour l'encourager à aller voir un professionnel?

Je me sens mal et je culpabilise de ne pas être plus atteinte que ça par son état mais nous avons notre fille et je dois la protéger la priorité c'est ELLE maintenant.
Avant je me centré sur lui quand il n'allait pas bien, je le poussait un peu à parler on chercher des solutions ensemble etc. Mais maintenant je dois m'occuper de notre fille avant de m'occuper de lui. et c'est beaucoup je me fatigue, il m'use.